Extraction de la racine carree d'un entier naturel chez al-Baghdadi

Leila Hamouda; Seif Toumi; Yassine Hachaichi

arxiv: 1906.07964 · v1 · pith:OA3GTCL2new · submitted 2019-06-19 · 🧮 math.HO

Extraction de la racine carree d'un entier naturel chez al-Baghdadi

Yassine Hachaichi , Leila Hamouda , Seif Toumi This is my paper

Pith reviewed 2026-05-25 20:11 UTC · model grok-4.3

classification 🧮 math.HO

keywords square root extractional-BaghdadiArabic mathematicsnumerical algorithmshistory of mathematicsdecimal positional systemmedieval computation

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The pith

Al-Baghdadi presented a purely numerical square root extraction algorithm that is more complete and detailed than those of earlier Arab mathematicians such as al-Khwarizmi.

A machine-rendered reading of the paper's core claim, the machinery that carries it, and where it could break.

The paper reviews the historical development of algorithms for extracting the square root of natural numbers among Arab mathematicians from the ninth to fifteenth centuries. It focuses on al-Baghdadi's contribution, arguing that his method operates entirely within the decimal positional system and supplies additional steps and explanations absent from prior texts. A reader would care because the algorithm described is the direct ancestor of the procedure still executed in calculators and computers today. The exposition draws on al-Baghdadi's manuscript to demonstrate how the procedure was refined over time.

Core claim

Al-Baghdadi's text supplies a purely numerical procedure for square root extraction that builds on the framework introduced by al-Khwarizmi but expands it with greater completeness and detail, allowing direct comparison of the successive refinements in the algorithm.

What carries the argument

Al-Baghdadi's numerical algorithm for square root extraction, which the paper presents as an expanded sequence of operations within the decimal place-value system.

If this is right

The square root procedure can be traced as a continuous numerical technique from the ninth century onward.
Modern implementations of square root extraction inherit their structure from the decimal positional methods refined in these texts.
The same level of step-by-step elaboration may exist for other arithmetic operations in the same body of Arabic mathematical literature.
Direct textual comparison becomes possible once the added steps in al-Baghdadi's version are identified.

Where Pith is reading between the lines

These are editorial extensions of the paper, not claims the author makes directly.

Incremental addition of explanatory steps, rather than new conceptual frameworks, may have been the dominant mode of progress in medieval numerical algorithms.
Pedagogical intent could explain why al-Baghdadi recorded more intermediate calculations than his predecessors.
Parallel studies of cube-root or higher-root algorithms in the same tradition might reveal similar patterns of elaboration.

Load-bearing premise

The manuscripts attributed to al-Baghdadi preserve his algorithm in sufficient detail to permit reliable comparison of its completeness with earlier surviving texts.

What would settle it

An earlier manuscript that already contains every step and explanation the paper attributes uniquely to al-Baghdadi.

read the original abstract

Between the ninth and fifteenth centuries, several Arab mathematicians studied numerical algorithms on integers. The extraction of the square root of an integer is based on an algorithm known at least since al-Khwarizmi (died around 850) which presents it in the framework of the decimal system of position theory, in his work the Indian calculus (al hisab al-hindi). Although this algorithm is less democratized than the four usual operations of arithmetic, it has experienced the same posterity, since it is still implemented today in our calculators and computers. We have chosen to expose the work of Al-Baghdadi, on the extraction of the square root of integers. His approach is purely numerical, it is more complete and more detailed than the works of its predecessors. We will highlight the interest of al-Baghdadi's text.

Editorial analysis

A structured set of objections, weighed in public.

Desk editor's note, referee report, simulated authors' rebuttal, and a circularity audit. Tearing a paper down is the easy half of reading it; the pith above is the substance, this is the friction.

Desk Editor's Note private letter to a colleague

This is a straightforward historical exposition of al-Baghdadi's square root method with no new math or derivations.

read the letter

This paper is mainly an exposition of al-Baghdadi's square root extraction algorithm from his medieval text, arguing that it is more complete and detailed than predecessors like al-Khwarizmi. It does not introduce any new mathematical content, proofs, or algorithms. The authors note the method's roots in positional decimal arithmetic and its survival in modern computation, then focus on presenting al-Baghdadi's purely numerical steps. If the full text includes accurate translations or clear step-by-step breakdowns from the source, that could serve as a useful reference for tracing how these procedures were written down. The choice to highlight a less central author than al-Khwarizmi is reasonable for filling in gaps in the record. The main limitation is that the claim of greater completeness rests on interpretive comparison of historical texts rather than any side-by-side quantitative check or new derivation. The abstract supplies no examples, tables, or explicit contrasts, so it is difficult to judge how much the paper actually adds beyond re-presenting known material. The link to contemporary calculators is mentioned but left undeveloped. This kind of work is aimed at historians of mathematics who already care about medieval Arabic arithmetic. A reader in that niche would get modest value from the specific source it covers. The paper is coherent on its own terms and engages the existing literature without internal contradictions, so it deserves peer review in a specialized history of mathematics journal even though the advance is limited.

Referee Report

1 major / 2 minor

Summary. The manuscript presents an exposition of al-Baghdadi's algorithm for extracting the square root of a natural number, situating it within the tradition of Arabic mathematics from al-Khwarizmi onward. It describes the method as purely numerical and asserts that it is more complete and more detailed than the treatments by predecessors, with the goal of highlighting the interest and value of al-Baghdadi's text.

Significance. If the historical analysis and textual comparisons are accurate, the paper contributes a focused account of a specific algorithmic development in medieval Islamic mathematics, potentially clarifying the transmission and refinement of numerical methods that remain foundational to modern computation.

major comments (1)

[Abstract] Abstract and introduction: the central claim that al-Baghdadi's approach 'is more complete and more detailed than the works of its predecessors' is load-bearing for the paper's contribution but is presented as a qualitative judgment without an explicit, systematic comparison (e.g., step-by-step differences or coverage of edge cases) against named earlier texts such as al-Khwarizmi's al-hisab al-hindi.

minor comments (2)

The manuscript would benefit from including the original Arabic text or a full translation of key passages from al-Baghdadi to allow readers to verify the claimed completeness independently.
Notation for the algorithm steps should be standardized and clearly distinguished from modern decimal notation to avoid potential confusion for readers unfamiliar with positional systems in historical context.

Simulated Author's Rebuttal

1 responses · 0 unresolved

We thank the referee for their careful reading of the manuscript and for identifying this important point regarding the presentation of our central claim. We address the comment below.

read point-by-point responses

Referee: [Abstract] Abstract and introduction: the central claim that al-Baghdadi's approach 'is more complete and more detailed than the works of its predecessors' is load-bearing for the paper's contribution but is presented as a qualitative judgment without an explicit, systematic comparison (e.g., step-by-step differences or coverage of edge cases) against named earlier texts such as al-Khwarizmi's al-hisab al-hindi.

Authors: We agree that the abstract and introduction present the claim as a qualitative assertion without an accompanying systematic comparison. Although the body of the paper provides a detailed exposition of al-Baghdadi's algorithm that implicitly highlights its features, an explicit side-by-side analysis would strengthen the argument. In the revised manuscript we will add a new subsection (or table) that enumerates the algorithmic steps of al-Baghdadi alongside those given by al-Khwarizmi in al-hisab al-hindi, with explicit discussion of coverage of edge cases such as perfect squares, numbers with an odd number of digits, and the handling of the decimal place-value system. revision: yes

Circularity Check

0 steps flagged

No significant circularity in historical exposition

full rationale

The paper presents a historical exposition and comparison of al-Baghdadi's square-root algorithm against earlier works, relying on textual analysis of external historical sources. No mathematical derivations, fitted parameters, self-citations, or uniqueness theorems are invoked; the central claim of greater completeness is a qualitative historical judgment supported by direct textual exposition rather than any internal reduction or loop. The work is self-contained against external benchmarks with no load-bearing steps that reduce to the paper's own inputs by construction.

Axiom & Free-Parameter Ledger

0 free parameters · 1 axioms · 0 invented entities

The paper is a historical review of medieval algorithms with no new mathematical parameters, axioms beyond standard arithmetic, or invented entities; relies on interpretation of primary sources.

axioms (1)

standard math Decimal positional notation and basic arithmetic operations as described in medieval Arabic texts form the basis for the algorithm.
Invoked in the abstract when referencing al-Khwarizmi's framework in the decimal system.

pith-pipeline@v0.9.0 · 5679 in / 1059 out tokens · 27694 ms · 2026-05-25T20:11:34.661609+00:00 · methodology

discussion (0)

Reference graph

Works this paper leans on

10 extracted references · 10 canonical work pages

[1]

D‟une façon explicite, al -Baghdādī décrit les étapes à suivre pour extraire la racine d‟un carré parfait

Extraction de la racine carrée d’un carré parfait Cette première section du chapitre [5, pp 72 -76] présente l‟algorithme qui sera utilisé dans toutes les autres sec tions. D‟une façon explicite, al -Baghdādī décrit les étapes à suivre pour extraire la racine d‟un carré parfait. Sa description est itérative, dans le sens où il donne les deux premières ité...

work page
[2]

Extraction de la racine carrée d’un carré non parfait Dans cette partie, al-Baghdādī écrit : Extraire sur le takht la racine d’un non carré est comme extraire de la racine d’un carré sauf qu’il reste dans le carré non parfait des fractions, une partie ou des parties après l’extraction de la racine de la partie entière. Les calculateurs ne sont pas d’accor...

work page
[3]

Il considère ensuite 3=12+2 et considère 8 les deux approximations 3 ≈ 2 et 2 ≈ 1 + 2 3 puis il les élève au carré pour avoir successivement : 4 et 2 + 7

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[4]

Il en conclut que ceci reste vrai pour tout entier

Il constate que 2 + 7 9 est plus proche de 3 que 4. Il en conclut que ceci reste vrai pour tout entier. Pour montrer que cette conclusion est fausse dans le cas général, prenons l‟exemple de 10=32+1. Par la méthode d‟al-Khwārizmī, on obtient 10 ≈ 3 + 1 6 et par celle dite conventionnelle 10 ≈ 3 + 1 7 , en les élevant respectivement au carrée, on obtient 1...

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[5]

Il reprend un autre exemple dans le même esprit : 4 × (3×3) × (5×5)=900 dont la racine est 30, en divisant 30 par (3×5=15, 𝑝 = 1) on obtient 2 qui est la racine de 4

Extraction de la racine d’un nombre en le multipliant par un nombre La troisième partie introduit essentiellement la technique d‟extraction de la racine carrée d‟un entier N en le multipliant par un autre entier A un nombre pair de fois de telle manière à avoir 𝐴2𝑝𝑁 = 𝐴𝑝 𝑁 Al-Baghdādī commence par valider sa méthode de calcul sur des exemples de carrés pa...

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[6]

Les 10𝑝 représentent les p chiffres après la virgule de la racine carrée

A propos de l’extraction de la racine carrée en multipliant par des puissances de 10 Cette méthode consiste à chercher la racine carrée d‟un entier N en le multipliant par un nombre pair de 10, c'est-à-dire on prend 𝐴 = 10 dans l‟équation 𝐴2𝑝𝑁 = 10𝑝 𝑁 . Les 10𝑝 représentent les p chiffres après la virgule de la racine carrée. Al-Baghdādī traduit ces chiff...

work page
[7]

Vérification de l’exactitude du calcul La cinquième partie est une vérification de l‟exactitude du calcul de la racine carrée modulo

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[8]

10 Premier cas : N est un carré parfait c'est-à-dire que N = s2 où s est un entier

Soit N le nombre dont on cherche la racine carrée et s sa racine carrée. 10 Premier cas : N est un carré parfait c'est-à-dire que N = s2 où s est un entier. Après avoir cherché s par l‟algorithme donné à la première section, on note a et b les restes respectifs de la division euclidienne de N et s2 par 9. Si a = b alors, d‟après al-Baghdādī, le calcul de ...

work page
[9]

Dans cette partie, al-Baghdādī affirme certaines propriétés des racines carrées extraites des carrés parfaits

A propos des critères de vérification de l’extraction des racines La dernière partie étudie les décimales qui composent les carrés parfaits (modulo 10 et modulo 9). Dans cette partie, al-Baghdādī affirme certaines propriétés des racines carrées extraites des carrés parfaits. L‟unité d‟un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. Si l‟unité d‟un c...

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[10]

Novel Square Root Algorithm and its FPGA Implementation

Efficacité de l’algorithme a. Utilisation actuelle de l’algorithme Le travail d‟al-Baghdādī montre que l‟algorithme de l‟extraction de la racine carrée est déjà bien assimilé et étudié, du point de vue numérique, au onzième siècle déjà. Son efficacité et sa « simplicité » ont contribué à la fortune de cet algorithme dont la large diffusion et son actuelle...

work page 1992

[1] [1]

D‟une façon explicite, al -Baghdādī décrit les étapes à suivre pour extraire la racine d‟un carré parfait

Extraction de la racine carrée d’un carré parfait Cette première section du chapitre [5, pp 72 -76] présente l‟algorithme qui sera utilisé dans toutes les autres sec tions. D‟une façon explicite, al -Baghdādī décrit les étapes à suivre pour extraire la racine d‟un carré parfait. Sa description est itérative, dans le sens où il donne les deux premières ité...

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