Le groupe fondamental d'un espace homog\`ene d'un groupe alg\'ebrique lin\'eaire

Soit X un espace homog\`ene d'un groupe alg\'ebrique lin\'eaire connexe G sur C. Soit x un C-point de X. On d\'esigne par H le stabilisateur de x dans G. On montre qu'on peut d\'efinir alg\'ebriquement le groupe fondamental topologique \pi_1(X(C),x), si ce groupe fondamental topologique est ab\'elien. Si Pic(G)=0 et H est connexe ou ab\'elien, on calcule \pi_1(X(C),x) en termes des groupes de caract\`eres de G et H. En outre, si G et X sont d\'efinis sur un corps alg\'ebriquement clos de caract\'eristique p quelconque, on calcule la partie premi\`ere \`a p du groupe fondamental \'etale de X en termes des groupes de caract\`eres de G et H (si Pic(G)=0 et H est connexe). Let X be a homogeneous space of a connected linear algebraic group G defined over C. Let x be a C-point of X. We denote by H the stabilizer of x in G. We show that if the topological fundamental group \pi_1(X(C),x) is abelian, then it can be defined algebraically. If Pic(G)=0 and H is connected or abelian, we compute \pi_1(X(C),x) in terms of the character groups of G and H. Furthermore, when G and X are defined over an algebraically closed field of arbitrary characteristic p, we compute the prime-to-p \'etale fundamental group of X in terms of the character groups of G and H (if Pic(G)=0 and H is connected).