$\lambda$-quiddity and subgroups generated by an algebraic number

Flavien Mabilat (LMR)

$\lambda$-quiddity and subgroups generated by an algebraic number

T0 review · 0 major / 2 minor · reviewed 2026-05-24 · grok-4.3

Challenge this review Download PDF Read on arXiv ↗

Pith's one-line read Solutions to the λ-quiddity matrix equation can be characterized inside cyclic subgroups generated by algebraic numbers of the form a + b√k.

desk verdict This paper extends Cuntz's λ-quiddity work to cyclic subgroups generated by algebraic numbers like a+b√k, but the advance looks incremental and the abstract leaves the actual characterizations unclear. read the letter →

arxiv 2212.03142 v3 submitted 2022-12-06 math.CO

Flavien Mabilat (LMR) This is my paper

classification math.CO

keywords λ-quidditymatrixequationcyclicsubgroupalgebraicnumberCoxeterfriezequadraticextensionadditivegroup

verification ladder T0 review T1 audit T2 compute T3 formal

The pith

A machine-rendered reading of the paper's core claim, the machinery that carries it, and where it could break.

The reading

The paper examines λ-quiddities, defined as solutions to a matrix equation that arises from the study of Coxeter friezes, when the solutions are required to lie inside particular additive subgroups of the complex numbers. The focus is on cyclic subgroups generated by an algebraic number, with special attention to generators of the form a + b√k. The work supplies explicit characterizations of the solutions in these restricted settings. A sympathetic reader would care because the restriction to algebraic generators replaces the full complex plane with a more rigid arithmetic structure where the solutions become more tractable. If the characterizations hold, one obtains concrete descriptions of λ-quiddities that respect the additive relations imposed by the algebraic generator.

What carries the argument

The λ-quiddity, a tuple satisfying the matrix equation tied to Coxeter friezes, now required to take values inside the cyclic subgroup generated by the algebraic number.

What would settle it

An explicit algebraic number a + b√k for which the generated subgroup contains no solution to the matrix equation would show that the claimed characterization does not hold in general.

Watch

Extended reading notes

Core claim

For cyclic subgroups of (C, +) generated by an algebraic number a + b√k, the matrix equation that defines λ-quiddities admits solutions that can be characterized directly inside the subgroup.

Load-bearing premise

The matrix equation for λ-quiddities admits solutions that can be characterized inside the cyclic subgroups generated by algebraic numbers of the form a + b√k.

Editorial extensions

If this is right

Solutions to the equation become elements of the subgroup generated by a + b√k rather than arbitrary complex numbers.
The solutions admit descriptions that respect the minimal polynomial of the generator.
The same matrix equation can be studied uniformly across different quadratic extensions.
Frieze patterns associated to these λ-quiddities inherit the additive relations of the subgroup.

Reading between the lines

Editorial extensions of the paper, not claims the author makes directly.

One could test the characterization by substituting concrete small values such as a=1, b=1, k=2 and solving the resulting system over the subgroup.
The method might extend to cyclic subgroups generated by algebraic numbers of higher degree once the quadratic case is settled.
The restriction to these subgroups could link the matrix equation to Diophantine conditions inside quadratic fields.

Share X Bluesky LinkedIn Reddit HN

Editorial analysis

A structured set of objections, weighed in public.

Desk editor's note, referee report, simulated authors' rebuttal, and a circularity audit.

Desk Editor's Note

read the letter

The core move here is to take the λ-quiddity matrix equation from Cuntz's frieze work and restrict the search for solutions to cyclic subgroups of (C,+) generated by algebraic numbers, with special attention to generators of the form a + b√k. That is a direct, narrow follow-up rather than a broad reformulation. The paper states its goal clearly as providing new insights in those specific cases, which aligns with the reader's note that the characterizations are not already in the cited prior work. On the positive side, choosing algebraic generators of that shape makes sense because it keeps the subgroups inside a setting where explicit arithmetic might be feasible, and the problem framing avoids any obvious circularity or invented entities. The stress-test note is right that the central claim is modest and self-contained: it is simply an investigation of where solutions exist inside those subgroups. No load-bearing assumption is hidden. The main limitation is that the abstract gives no derivations, explicit solutions, or even sample computations, so it is impossible to tell how much ground is actually covered. If the full text only restates the setup without concrete new solutions or proofs that the equation behaves differently in these subgroups, the contribution stays small. The citation pattern appears standard for the area, with no sign of self-referential fitting. This is a paper for a small group of people already working on quiddities, friezes, or combinatorial number theory around algebraic subgroups. A reader outside that circle will not get much from it. It is coherent on its own terms and deserves a serious referee to check whether the promised characterizations are actually delivered and whether they are new. I would not bring it to a general reading group or cite it myself, but an editor should send it out rather than desk-reject.

Referee Report

0 major / 2 minor

Summary. The paper investigates λ-quiddities (solutions to a matrix equation arising in the study of Coxeter friezes) over cyclic subgroups of (ℂ, +) generated by algebraic numbers, with particular attention to the case of subgroups generated by elements of the form a + b√k.

Significance. If the characterizations hold, the work supplies concrete new information on the existence and form of solutions inside these specific subgroups, directly addressing the problem posed by Cuntz. The manuscript's explicit focus on verifying and describing solutions within the indicated algebraic cyclic subgroups constitutes a strength, as the central object of study is precisely the assumption that such solutions exist and can be characterized.

minor comments (2)

[Abstract] Abstract: the claim to 'provide some new insights' is not accompanied by any statement of the main theorems or explicit characterizations obtained; adding one or two sentences summarizing the principal results would improve readability.
[Introduction] The manuscript would benefit from an explicit statement, early in the introduction, of the precise matrix equation that defines λ-quiddity (including the size of the matrices and the ring in which entries lie).

Simulated Author's Rebuttal

0 responses · 0 unresolved

We thank the referee for their review and for recommending minor revision. No major comments were raised in the report.

Circularity Check

0 steps flagged · score 0.0 of 10

No significant circularity detected

full rationale

The paper's stated aim is to characterize solutions to the λ-quiddity matrix equation inside cyclic subgroups of (C,+) generated by algebraic numbers of the form a+b√k. This is an explicit investigative task rather than a derivation that reduces to its own inputs. No self-definitional equations, fitted parameters renamed as predictions, or load-bearing self-citations appear in the provided abstract or framing. The work is self-contained as a direct study of the indicated problem.

Assumptions & free parameters 0 free parameters · 0 assumptions · 0 invented entities

Review based solely on abstract; no explicit free parameters, axioms, or invented entities stated.

how reviews work

0 comments

Cite this review

Pith. "Pith review of $\lambda$-quiddity and subgroups generated by an algebraic number." pith.science (2026). https://pith.science/paper/2212.03142

@misc{pith2026221203142,
  author       = {Pith},
  title        = {Pith review of: $\lambda$-quiddity and subgroups generated by an algebraic number},
  year         = {2026},
  howpublished = {\url{https://pith.science/paper/2212.03142}},
  note         = {Machine review of arXiv:2212.03142}
}

abstract

During his work devoted to Coxeter's friezes, M. Cuntz initiated the study of the notion of $\lambda$-quiddity and raised the problem of the study of this over some subsets of $\mathbb C$. More specifically, $\lambda$-quiddities are the solutions to a matrix equation, related to various mathematical objects, which we seek to solve over different sets. The aim of this text is to provide some new insights into the problem raised by M. Cuntz in the case of some cyclic subgroups of ($\mathbb{C},+$) generated by an algebraic number. In particular, we will study the cases of subgroups generated by $a+b\sqrt{k}$.

Discussion (0). Sign in to comment.

Lean theorems connected to this paper

Citations machine-checked in the Pith Canon. Every link opens the source theorem in the public Lean library.

IndisputableMonolith/Foundation/AbsoluteFloorClosure.lean absolute_floor_iff_bare_distinguishability unclear

?

unclear
Relation between the paper passage and the cited Recognition theorem.

Théorème 2.6. Soit (a,b,k)∈Z³ ... l’ensemble des λ-quiddités irréductibles sur <a+b√k> est {(0,l(a+b√k),0,−l(a+b√k)), ...}
IndisputableMonolith/Foundation/AlexanderDuality.lean alexander_duality_circle_linking unclear

?

unclear
Relation between the paper passage and the cited Recognition theorem.

Proposition 4.1 ... θ: Ω(α)→Ω(β) bijection via conjugates of algebraic α

What do these tags mean?

matches: The paper's claim is directly supported by a theorem in the formal canon.
supports: The theorem supports part of the paper's argument, but the paper may add assumptions or extra steps.
extends: The paper goes beyond the formal theorem; the theorem is a base layer rather than the whole result.
uses: The paper appears to rely on the theorem as machinery.
contradicts: The paper's claim conflicts with a theorem or certificate in the canon.
unclear: Pith found a possible connection, but the passage is too broad, indirect, or ambiguous to say the theorem truly supports the claim.

Reference graph

Works this paper leans on

29 extracted references · 29 canonical work pages

[1]

Introduction Apparus au tout début des années soixante-dix sous la plume du mathématicien britannique H. S. M. Coxeter aﬁn d’étudier les formules de Gauss associées au Pentagramma miriﬁcum (voir [4]), les frises de Coxeter se sont rapidement aﬀranchies de leur rôle d’outil intermédiaire. Aujourd’hui, elles constituent un objet d’étude à part entière dont ...

work page Pith review arXiv 2023
[2]

Dans un premier temps, on va rappeler l’ensemble des déﬁnitions et des notations dont on aura besoin dans la suite

Définitions et résultats principaux Dans cette section, on va fournir les éléments essentiels de ce texte. Dans un premier temps, on va rappeler l’ensemble des déﬁnitions et des notations dont on aura besoin dans la suite. Dans un second temps, on énoncera les résultats principaux qui seront démontrés dans les sections suivantes. Dans tout ce texte,R est ...

work page
[3]

On en proﬁtera également pour fournir quelques éléments plus généraux sur les solutions de l’équation (E)

Résultats préliminaires Le but de cette partie est de collecter un certain nombres d’éléments utiles pour la suite et d’énoncer plusieurs théorèmes de classiﬁcation précédemment évoqués. On en proﬁtera également pour fournir quelques éléments plus généraux sur les solutions de l’équation (E). 3.1. Premiers résultats. On débute cette section en donnant la ...

work page
[4]

Chacun de ces produits étant multiplié par (-1) puissance le nombre de paires supprimées

section 2).Kn(a1,...,a n) est la somme de tous les produits possibles dea1,...,a n, dans lesquels un nombre quelconque de paires disjointes de termes consécutifs est supprimé. Chacun de ces produits étant multiplié par (-1) puissance le nombre de paires supprimées. On considère donc d’abord le produit a1×... ×an. Puis, on soustrait tous les produits de la...

work page
[5]

Donc, Kn(a1,...,a n)∈ R− Q

Ainsi, il existe un rationnelx tel que Kn(a1,...,a n) = 1√ 2x. Donc, Kn(a1,...,a n)∈ R− Q. Or, Kn(a1,...,a n) = ϵ∈ Q. Ceci est absurde. Ainsi, lesλ-quiddités sur < 1√ 2 > sont de taille paire. □ Nous allons maintenant tenter d’obtenir dans les sections suivantes de nouveaux résultats de classiﬁca- tion desλ-quiddités irréductibles sur des sous-groupes mon...

work page
[6]

Utilisation des éléments conjugués d’un nombre algébrique L’objectif de cette section est d’utiliser le caractère algébrique de certains nombres pour démontrer des résultats de classiﬁcation desλ-quiddités irréductibles, en particulier ceux donnés dans les théorèmes 2.5 et 2.6. 4.1. Démonstration des théorèmes 2.5 et 2.6.On commence cette sous-partie en r...

work page
[7]

Preuve du théorème 2.7.Soit w =a +ib∈ C avec|ab|≥ 1

Démonstration du théorème 2.7 On va maintenant démontrer le dernier théorème présenté dans la section 2 en utilisant une méthode proche de celle utilisée dans [14] pour démontrer le théorème de classiﬁcation sur< √ k> . Preuve du théorème 2.7.Soit w =a +ib∈ C avec|ab|≥ 1. Notre objectif est de montrer que toutes les solutions de (E) sur<w> de taille paire...

work page
[8]

Calculons le module pour ces deux possibilités

Celui-ci appartient nécessairement aux deux dernières catégories. Calculons le module pour ces deux possibilités. On a : — ⏐⏐kjw2± 1 ⏐⏐ = ⏐⏐(kj(a2−b2)± 1) + 2ikjab ⏐⏐ = √ (kj(a2−b2)± 1)2 + 4a2b2k2 j≥ 2|kj||ab|≥ 2, — ⏐⏐kjw2± 2 ⏐⏐ = ⏐⏐(kj(a2−b2)± 2) + 2ikjab ⏐⏐ = √ (kj(a2−b2)± 2)2 + 4k2 ja2b2≥ 2|kj||ab|≥ 2. Ainsi,touteslescomposantesdelasolutionobtenueensup...

work page

Show all 29 references

[9]

Bergeron, C

F. Bergeron, C. Reutenauer,SLk-tilings of the plane, Illinois J. Math., Vol. 54 no. 1, (2010), pp 263-300

2010
[10]

Cantor,Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, Acta Mathemetica, Vol

G. Cantor,Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels, Acta Mathemetica, Vol. 2, (1883), pp 305-310
[11]

Conley, V

C. Conley, V. Ovsienko,Rotundus : triangulations, Chebyshev polynomials, and Pfaﬃans, Math. Intelligencer, Vol. 40 no. 3, (2018), pp 45-50

2018
[12]

H. S. M. Coxeter,Frieze patterns, Acta Arithmetica, Vol. 18, (1971), pp 297-310

1971
[13]

Cuntz,A combinatorial model for tame frieze patterns, Munster J

M. Cuntz,A combinatorial model for tame frieze patterns, Munster J. Math., Vol. 12 no. 1, (2019), pp 49-56

2019
[14]

Cuntz, T

M. Cuntz, T. Holm,Frieze patterns over integers and other subsets of the complex numbers, J. Comb. Algebra., Vol. 3 no. 2, (2019), pp 153-188

2019
[15]

Dumas,Sur quelques cas d’irréductibilité des polynômes à coeﬃcients rationnels, Journal de mathématiques pures et appliquées 6e série, tome 2, (1906), pp 191-258

G. Dumas,Sur quelques cas d’irréductibilité des polynômes à coeﬃcients rationnels, Journal de mathématiques pures et appliquées 6e série, tome 2, (1906), pp 191-258

1906
[16]

Gozard,Théorie de Galois - niveau L3-M1 - 2e édition, Ellipses, 2009

I. Gozard,Théorie de Galois - niveau L3-M1 - 2e édition, Ellipses, 2009

2009
[17]

Mabilat,Combinatoire des sous-groupes de congruence du groupe modulaire, Annales Mathématiques Blaise Pascal, Vol

F. Mabilat,Combinatoire des sous-groupes de congruence du groupe modulaire, Annales Mathématiques Blaise Pascal, Vol. 28 no. 1, (2021), pp. 7-43. doi : 10.5802/ambp.398. https ://ambp.centre-mersenne.org/articles/10.5802/ambp.398/

2021 doi
[18]

Mabilat, λ-quiddité sur Z[α] avec α transcendant, Mathematica Scandinavica, Vol

F. Mabilat, λ-quiddité sur Z[α] avec α transcendant, Mathematica Scandinavica, Vol. 128 no. 1, (2022), pp 5-13, https ://doi.org/10.7146/math.scand.a-128972

2022 doi
[19]

Mabilat, Combinatoire des sous-groupes de congruence du groupe modulaire II

F. Mabilat, Combinatoire des sous-groupes de congruence du groupe modulaire II . Annales Mathéma- tiques Blaise Pascal, Vol. 28 no. 2, (2021), pp. 199-229. doi : 10.5802/ambp.404. https ://ambp.centre- mersenne.org/articles/10.5802/ambp.404/

2021 doi
[20]

Mabilat,Entiers monomialement irréductibles, hal-03487145, arXiv:2112.10410

F. Mabilat,Entiers monomialement irréductibles, hal-03487145, arXiv:2112.10410
[21]

Mabilat,Solutions monomiales minimales irréductibles dansSL2(Z/pnZ), hal-03573421, arXiv:2202.07279

F. Mabilat,Solutions monomiales minimales irréductibles dansSL2(Z/pnZ), hal-03573421, arXiv:2202.07279
[22]

Mabilat,λ-quiddité sur certains sous-groupes monogènes deC, hal-03706941, arXiv:2206.13949

F. Mabilat,λ-quiddité sur certains sous-groupes monogènes deC, hal-03706941, arXiv:2206.13949
[23]

Morier-Genoud,Coxeter’s frieze patterns at the crossroad of algebra, geometry and combinatorics, Bull

S. Morier-Genoud,Coxeter’s frieze patterns at the crossroad of algebra, geometry and combinatorics, Bull. Lond. Math. Soc., Vol. 47 no. 6, (2015), pp 895-938

2015
[24]

Ovsienko, Partitions of unity inSL(2, Z), negative continued fractions, and dissections of polygons,Res

V. Ovsienko, Partitions of unity inSL(2, Z), negative continued fractions, and dissections of polygons,Res. Math. Sci., Vol. 5 no. 2, (2018), Article 21, 25 pp

2018
[25]

Rouché,Mémoire sur la série de Lagrange, J

E. Rouché,Mémoire sur la série de Lagrange, J. de l’École Impériale polytechnique 39, tome XXII, (1862), pp 193–224
[26]

Sturm, Mémoire sur la résolution des équations numériques, Mémoires présentés par divers Savants étrangers à l’Acad

C. Sturm, Mémoire sur la résolution des équations numériques, Mémoires présentés par divers Savants étrangers à l’Acad. royale des sc., section sc. math, phys., tome VI, (1835), pp 273-318
[27]

Tauvel,Analyse complexe pour la Licence 3, Dunod, 2020

P. Tauvel,Analyse complexe pour la Licence 3, Dunod, 2020

2020
[28]

Weber, M

M. Weber, M. Zhao,Factorization of frieze patterns,Revista de la Union Matematica Argentina, Vol. 60 no. 2, (2019), pp 407-415

2019
[29]

Zhao,Ring And Field Theory, World Scientiﬁc Publishing Co, 2022

K. Zhao,Ring And Field Theory, World Scientiﬁc Publishing Co, 2022. Laboratoire de Mathématiques de Reims, UMR9008 CNRS et Université de Reims Champagne-Ardenne, U.F.R. Sciences Exactes et Naturelles Moulin de la Housse - BP 1039 51687 Reims cedex 2, France Email address: flav...

2022

Pith tools

Reviewed May 24, 2026 · model on record in the stance chip above.

[1] [1]

Introduction Apparus au tout début des années soixante-dix sous la plume du mathématicien britannique H. S. M. Coxeter aﬁn d’étudier les formules de Gauss associées au Pentagramma miriﬁcum (voir [4]), les frises de Coxeter se sont rapidement aﬀranchies de leur rôle d’outil intermédiaire. Aujourd’hui, elles constituent un objet d’étude à part entière dont ...

work page Pith review arXiv 2023

[2] [2]

Dans un premier temps, on va rappeler l’ensemble des déﬁnitions et des notations dont on aura besoin dans la suite

Définitions et résultats principaux Dans cette section, on va fournir les éléments essentiels de ce texte. Dans un premier temps, on va rappeler l’ensemble des déﬁnitions et des notations dont on aura besoin dans la suite. Dans un second temps, on énoncera les résultats principaux qui seront démontrés dans les sections suivantes. Dans tout ce texte,R est ...

work page

[3] [3]

On en proﬁtera également pour fournir quelques éléments plus généraux sur les solutions de l’équation (E)

Résultats préliminaires Le but de cette partie est de collecter un certain nombres d’éléments utiles pour la suite et d’énoncer plusieurs théorèmes de classiﬁcation précédemment évoqués. On en proﬁtera également pour fournir quelques éléments plus généraux sur les solutions de l’équation (E). 3.1. Premiers résultats. On débute cette section en donnant la ...

work page

[4] [4]

Chacun de ces produits étant multiplié par (-1) puissance le nombre de paires supprimées

section 2).Kn(a1,...,a n) est la somme de tous les produits possibles dea1,...,a n, dans lesquels un nombre quelconque de paires disjointes de termes consécutifs est supprimé. Chacun de ces produits étant multiplié par (-1) puissance le nombre de paires supprimées. On considère donc d’abord le produit a1×... ×an. Puis, on soustrait tous les produits de la...

work page

[5] [5]

Donc, Kn(a1,...,a n)∈ R− Q

Ainsi, il existe un rationnelx tel que Kn(a1,...,a n) = 1√ 2x. Donc, Kn(a1,...,a n)∈ R− Q. Or, Kn(a1,...,a n) = ϵ∈ Q. Ceci est absurde. Ainsi, lesλ-quiddités sur < 1√ 2 > sont de taille paire. □ Nous allons maintenant tenter d’obtenir dans les sections suivantes de nouveaux résultats de classiﬁca- tion desλ-quiddités irréductibles sur des sous-groupes mon...

work page

[6] [6]

Utilisation des éléments conjugués d’un nombre algébrique L’objectif de cette section est d’utiliser le caractère algébrique de certains nombres pour démontrer des résultats de classiﬁcation desλ-quiddités irréductibles, en particulier ceux donnés dans les théorèmes 2.5 et 2.6. 4.1. Démonstration des théorèmes 2.5 et 2.6.On commence cette sous-partie en r...

work page

[7] [7]

Preuve du théorème 2.7.Soit w =a +ib∈ C avec|ab|≥ 1

Démonstration du théorème 2.7 On va maintenant démontrer le dernier théorème présenté dans la section 2 en utilisant une méthode proche de celle utilisée dans [14] pour démontrer le théorème de classiﬁcation sur< √ k> . Preuve du théorème 2.7.Soit w =a +ib∈ C avec|ab|≥ 1. Notre objectif est de montrer que toutes les solutions de (E) sur<w> de taille paire...

work page

[8] [8]

Calculons le module pour ces deux possibilités

Celui-ci appartient nécessairement aux deux dernières catégories. Calculons le module pour ces deux possibilités. On a : — ⏐⏐kjw2± 1 ⏐⏐ = ⏐⏐(kj(a2−b2)± 1) + 2ikjab ⏐⏐ = √ (kj(a2−b2)± 1)2 + 4a2b2k2 j≥ 2|kj||ab|≥ 2, — ⏐⏐kjw2± 2 ⏐⏐ = ⏐⏐(kj(a2−b2)± 2) + 2ikjab ⏐⏐ = √ (kj(a2−b2)± 2)2 + 4k2 ja2b2≥ 2|kj||ab|≥ 2. Ainsi,touteslescomposantesdelasolutionobtenueensup...

work page